凯利标准:你不知道它的一半
尽管耗费大量资源在一个正式的金融教育,我没有遇到凯利标准在商学院或CFA课程。我几乎是偶然碰到它,在威廉·庞德斯的令人愉快的书财富的公式。
创建于1956年由约翰·凯利,贝尔实验室的科学家凯利标准是公式大小投资或投资的投资者预计一个积极的回报。这是唯一我看过的一个数学公式证明解释为什么比任何替代它可以带来更高的长期回报。
在我看来,这个公式是符合价值投资的概念安全边际并导致投资组合集中在最有优势的主导思想,最小的缺点。
尽管它相对默默无闻和缺乏主流学术支持,凯利标准引起了地球上一些最著名的投资者,沃伦•巴菲特(Warren Buffett),芒格(Charlie Munger),莫尼什Pabrai,比尔•格罗斯,其中。虽然凯利公式需要估计提前投资结果的概率分布,即,a crystal ball, its mainstream alternative, Harry Markowitz’s mean/variance optimization, calls for an estimate of the covariance matrix, which for a bottom-up investor, I believe is much more difficult to obtain.
庞德斯的书读完,我想凯利标准适用于自己的投资。我通过例子学习,我的数学是生锈的,所以我寻找一个短,非技术篇关于公式如何在股权投资工作。
不幸的是,大多数的来源我发现用错误的公式。
文章在顶部谷歌搜索“凯利计算器资产”提出了一种简单的、程式化的投资60%的机会获得,40%的机会损失20%在每个模拟。没有其他的结果是可能的,以及可以重复在许多模拟的投资,或时间。
这显然是不错的投资,积极的期望:E (x) = 60% * 20 + 40% * (-20%) = 4%。但份额的投资组合应该占用?太小的分配和组合将失去了增长。太大,一些不幸的结果——即使是一个可以抑制它超越完全恢复或消灭它。什么比例分配,不断应用,最大化组合的潜在的长期增长率吗?
这篇文章我发现,许多喜欢它用公式凯利% = W - [(1 - W) / R],其中W是赢得概率和R之间的比率是损益的场景。
对于这个投资,W是60%,R是1 (20% / 20%)。表示为一个积极的。插入的数字,凯利% = 60% - [(1 - 60%)/ (20% / 20%)]= 20%。换句话说,20%分配投资组合的长期增长潜力最大化。
这是完全不正确的。错误是直观的、经验和数学。这个公式并不占潜在利润和损失的大小(波动),只有他们的比率。事实上,这篇文章甚至没有列出潜在的收益或损失。变化的潜在利润和损失20%到200%,和投资变得更加不稳定的10倍。然而R比率保持不变——200% / 200% = 1,公式的结果20%的优化配置。
这并不增加。
考虑一个模拟和三个不同的分配情况,所有复制相同的投资一遍又一遍:红色分配投资组合的20%,文章表明,蓝色在100%,和绿色杠杆上升到150%。下面的图表可视化仿真是如何经过100轮。
红色,”凯利最优”场景中,20%分配获得了相对弱小的2 x的回报。蓝色,总选项生成的6.2倍的回报。绿色蓝色超过一段时间但后来一连串的损失导致了3.4倍的回报。
这不仅仅是一个幸运的结果为蓝色。运行仿真和蓝胜1000倍红79%和绿67%的时间。蓝色的平均回报至少3 x比红色,几乎2 x比绿色的。总之,20%的分配太保守和绿色选择过于激进。
截至1000年后投资组合价值模拟(美元,从1美元时期1)
在第一个场景中,凯利公式凯利% = W - [(1 - W) / R]——不是一个异常。它出现在许多其他来源,包括纳斯达克,晨星,威利的假人,旧学校的价值,等等,类似于一个财富的公式:凯利% =边缘/可能性。
但公式只适用于二进制下行的情况是全损的资本,如-100%。这样的结果可能适用于21点和赛马,但很少的资本市场投资。
如果衰退范例损失小于100%,在上面的场景中,一个不同的凯利公式要求:凯利% = W / A - (1 - W) / BW是赢得概率,B是赢得的利润时(20%),和一个潜在损失(20%)。
插入的值我们的场景:凯莉% = 60% / 20% / 20% = 100%(1 - 60%),这是蓝色的获奖分配。
所有资本市场投资理论的缺点是-100%。不好的事情发生。公司破产。债券违约,有时被消灭了。很好。
但对于证券的分析二元框架所暗示的边缘/几率必须设置公式,下行前景概率的概率总资本损失,而不是更大的概率一些的损失。
有很多批评的凯利标准。虽然大多数超出了本文的范围,一个是值得一说。切换到“正确”凯利公式-凯利% = W / A - (1 - W) / B——常常会导致分配显著高于版本更受欢迎。
大多数投资者不会容忍波动性和产生的经费,将选择减少分配。很好——这两种变体的公式可以按比例缩小,但“正确”的版本仍然是优越的。为什么?因为它显式地占,鼓励投资者认为通过下行的场景。
,根据我的经验,一点额外的时间思考这是丰厚的回报。
附录:支持数学
这是凯利的推导公式:一个投资者开始1美元和投资一小部分(k)投资组合的投资有两个潜在的结果。如果投资成功,它将返回B和投资组合价值将1 + kB。如果失败了,它就失去了和投资组合价值1 - kA。
投资成功的概率是w。投资者可以重复所需的投资经常但必须投资相同的分数(k)。多少k长期将最大化的投资组合?
从长远来看,n * n是大之后,投资者预计w * n胜(1 - w)的损失。投资组合P将价值:
我们想解出最优k:
最大化,我们取其导数k和将其设置为0:
k的解决:
注意,如果下行前景损失总(= 1),这个公式简化上面引用的版本更受欢迎,因为R = B / A = B / 1 = B,所以:
附录:支持代码
下面是R代码用于生产模拟和上面的图表。
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
#凯利模拟二进制安全性
#被阿龙Bochman
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试验= 1000 #重复模拟很多次这样的经历
时间= 100 #每个仿真时间
winprob = 0.6 #每个时期赢得概率
返回= c(0.2, -0.2) #利润如果获胜,如果失去损失
分数= c(0.2、1、1.5) #竞争分配测试
库(ggplot2)
库(reshape2)
库(ggrepel)
% < -函数(x,位数= 2,格式= " f ",…) {
paste0 (formatC (100 * x,格式=格式,数字=数字,…),“%”)
}
set.seed (136)
财富=阵列(data = 0,昏暗的= c(试验、长度(分数),时间))
财富[1]= 1 #情商= 1期1
#模拟循环
(1:试验中试验){
结果= rbinom (n =时间、大小= 1,概率= winprob)
ret = ifelse(结果,返回[1],[2]返回)
(我在2:长度(ret)) {
1:长度(j(分数)){
打赌=分数[j]
财富[审判,j,我]=财富(张审判,j) *(1 +赌* ret[我])
}
}
}
1 #试验结果
视图。审判= 1
d < -融化(财富)
colnames (d) = c(“审判”,“分数”,“期”,“情商”)
d =子集(d = = view.trial试验)
d $分数= as.factor (d部分美元)
水平(d部分美元)=粘贴(“投资”,百分比(分数,位数= 0),9 = ")
d (d期= =期美元,'标签']= d (d期= =期美元,“情商”)
ggplot (d, aes (x =时期,y =情商,坳=分数))+
geom_line(大小= 1)+ scale_y_log10 () +
实验室(y =“投资组合价值”,x =“时期”)+
指南(col = guide_legend (title =“分配”))+
主题(传奇。位置= c) + (0.1, 0.9)
scale_color_manual(值= c(“红”“蓝”、“绿”))+ #如果> 2分配调整
geom_label_repel (aes(标签=圆(标签,位数= 2)),
nudge_x = 1,表演。传说= F, na。rm = TRUE)
# All-Trial结果
d = data.frame(财富[,时期])#最后一期
colnames (d) =粘贴(“投资”,百分比(分数,位数= 0),9 = ")
总结(d)
nrow(子集(d, d [2] > d[1])) /试验#蓝色的红色
nrow(子集(d, d [2] > d[3])) /试验#蓝色的绿色
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图片来源:©盖蒂图片社/ PATCHARIN SIMALHEK
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一般情况下,在相同的结果作为你的推导,讨论了凯利标准的维基百科条目。
https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
谢谢格雷戈尔。维基百科。大多数其他网站的公式错了——甚至一些专业人士。
1997年的时候,我父亲曾写文章“揭穿凯利标准。“体育赌客们和投资者从文章中获得很多智慧。https://professionalgambler.com/debunking.html
米勒先生,我已经你的书但迫切需要更新。最新版是在14岁。我希望你能发布一个新版本或版本,因为信息是非常过时。谢谢你的时间。
我被你的文章。我误会什么,或者你的文章是不正确的。凯利标准的重点是,如果你知道正确的值的输入,输出将会给你最优比例的总基金投资。在你给的例子中,凯利公式对打赌说20%。然而,你说这是更优的选择100%。但是如果你打赌100%,如果你失去了一次,你是坏了,不能再赌。所以,我不明白为什么你的图表没有显示100%的打赌平缓后0 1损失(与赌博150%)。
如果你有一个积极的期望值为赌注,打赌100%总收益率预期回报比赌博20%,但这个问题,或者问题,后一个打赌你会弄坏了,无法再赌任何东西。
如果你打赌100%,损失你破产了。赌博150%相同。
如果你打赌100%,输了,你不是坏了,因为在这种情况下,你的损失是-20%,而不是-100%。看到文章的顶部附近的收益表。这是典型的一些资本市场投资,与其说在21点。
如果损失仅为10%,所有其他参数保持不变?
你得到一个预期值为8%但凯利%把负面的或者没有我计算错误。如果是这是什么意思?
凯利%等于或低于零意味着你不该有一个积极的期望,因此不应该赌任何东西!是的,你有可能在这种情况下计算错误在某种程度上。
我读的问题是“如果你能够减少损失短只有10% ?”。
当然这应该改善的结果。我不知道8%来自或”而不是“原始图是什么,但很明显上涨20%的可能性为60%和40%的机会只会失去10%意味着你相反的方式更多。
这里k = 60/10 - 40/20 = 4的意思你应该准备投资4次(看那些像鹰)的止损盘,这就是spread-betters和CFD交易员的目的。
在现实世界的问题是双重的,首先,利用profit-eroding每日代价很难因素在这种形式的方程,它没有一个时间元素。第二,你10% loss-limit更容易受到比如果是20%的限制所以你不能认为“所有其他参数保持不变”。
在理论上虽然将最优的准备,但你需要不断调整,购买更多的利润和销售时失去时,常做什么在现实世界的基金。是否“理想”购买的路上,出卖的是另一个讨论,但是凯利说你“应该”来维持最优传动装置。
仿真表明,绿色显示出来到目前为止最好的平均,所以因此不能更好管理组分别有几个准备尽可能不相关的投资,对于坏竞选一个或更多的人,而不是一个类投资100%的你的钱和没有杠杆?
插入的值我们的场景:凯莉% = 60% / 20% / 20% = 100%(1 - 60%),这是蓝色的获奖分配。
你的计算是错误的。
修正是
凯利% = 60% / 20% (1 - 60%)/ 20% = 20%
没有你的计算是错误的;这个方程也出来100%。你可以看到这个通过简化:3 - 2 = 1(即100%)
谢谢你把你的文章放在一起,它提出了一些发人深省的问题。
我相信你忽略了什么是凯利标准最终代表。即凯利标准州多少你应该赌一赌基于边缘/概率假设你可以失去你的赌注的100%。你的赌注是你的风险。你会注意到在你的凯利标准例子说你应该打赌20%。如果你把结果意味着你应该风险20%的你的资金,而不是赌博20%你的公式和凯利标准提供相同的答案。你修改了公式,您应该将你的资金的100%。最终,这是只有20%的你的资金风险,这正是原来的公式了。在我看来,如果你解释凯利标准提供风险资金的比例应该没有需要返工的公式。你的模拟等于0.2 x凯利,凯利1 x和1.5 x凯利。我相信你的公式是一样的原始凯利乘以(1 /损失百分比)。
本文提出一些问题的凯利标准应用程序市场。我很想听听你的想法在这些点上。
1)利用也不是无限的所以一个例子,你想处5独立的市场赌注在20%的资金风险,各有20%的下行风险,你需要获得至少5倍杠杆。
2)凯利标准假定你可以无限分裂最低赌注。证券市场通常有最低赌注。与一个足够大的投资组合,效果可能接近拥有无穷可分赌注的选择,但我认为这是一个很重要的问题。凯利标准应该如何调整最小赌注大小作为%的资金?
*我的评论并不意味着任何形式的投资建议。我只是想认真的讨论添加到文章。
好点!修改了公式保存一个附加的步骤找出位置大小基于位置的风险。
同意你最初的评论,如果你允许,你会失去100%的打赌(如21点),然后基本凯利公式很好工作。它似乎仍然提供了一个更为激进的赌大小可能比我舒服的观点——虽然我认为鼓励适当的赌大小,或接近“理想”。对一些人来说这将意味着减少下注和一些,增加它。
谢谢你分享你的想法。
杰森
我数学很差,但我同意亚伦的答案。我想凯利% = W - ((1 - W) / R)表达了%的风险。这种风险%建仓。如果你宽松的赌注,你会宽松的风险%你的资本。在你的例子中,你应该打开一个位置为100%,如果你松散打赌你会宽松的20%的资金。
正确吗?
嗨——我想运行代码。
但它打破了第一个函数
% < -函数(x,位数= 2,格式= " f ",…) {
paste0 (formatC (100 * x,格式=格式,数字=数字,…),“%”)
}
什么函数的第一行的…是什么意思?我从来没有见过。
谢谢!
实际上,我想明白了。在我的版本的R语言引号“”和“是相反的。我必须通过和扭转你的使用。
不知道这是为什么…我以为这种无稽之谈只发生在不同的Python版本
现在工作了!
什么是浪费时间。
最重要的是,你甚至没有把正确的公式。
明确你懒惰不阅读E。索普的实现。
错误:
1。你用离散概率模型的投资组合
2。并占个人漂移率和方差率。
3所示。之间没有动力再分配和固定收益证券。
我可以继续,但我是在浪费我的时间。
一个非常有趣的文章。事实上,蓝色战略最大化你的资金的增长率从长远来看。更一般的凯利公式,讨论了导致这个策略,以及其他的实际属性凯利押注在16章我的书“惊喜在概率- 17个短篇故事,CRC出版社,2019年。
非常感谢这篇文章。它有助于理解背后的逻辑公式…
我认为一个人可以认为很多关于这里的确切数字。然而,鉴于所有的假设去计算我看到结果更像一个粗略的指示关于投资组合分配…
感谢的话说,人。它让我惊讶的是Investopedia还是* *显示错误的凯利公式,两年后:https://www.investopedia.com/articles/trading/04/091504.asp
我认为你的模型是错误的。如果你没有得到利润的%的概率w,这并不意味着你总是失去与B % 1 - w。
因此,模型应该这样修改
k是凯尔%,
1 ^ (1 - w - w ') n意味着当前忧郁之间的基米-雷克南和ks,我们持有。
w和w”是赢得和损失概率
F = (1 + kr) ^ wn * (1 - ks) w’* 1 ^ ^ (1 - w - w ') n
日志(F) = wn *日志(1 + kr) + w’*日志(1 - ks) + 0
k = w / s (w + w”)——w / r (w + w ')
我可能是错误的(我已经离开学校一段时间)
但不(w + w ') = 1
K = w / s - w / r
我不知道什么年代或r代表
但公式类似于伯克曼先生的
谢谢你的文章阿龙。
我想仔细检查我的数据和你确定我理解正确。
我的系统有一个赢得79%的速度。
赢得平均是3%。
平均损失0.8%
= (0.79/0.008 - (1 - 0.79)/ 0.03)
凯利%根据你的调整公式是9175%。
这对我来说没有太多意义。我犯了一个错误?
我有类似的回答,似乎没有意义。这是否意味着你应该把赌注押在您的系统上?
此外,阿龙,我想知道当你说“一个潜在损失”的公式:
这指的是平均损失或最大预期损失在单一贸易吗?
我做了一个表格,比较了两种计算方法下彼此。你可以在这里下载:http://bit.ly/Kelly2ver
我同意阿龙的方法是一种进步。但是我可以告诉你,作为一个金融交易员仍然是一个元素失踪。许多投资/交易有两个变量,这些变量应该考虑:可能赢得与潜在损失(你),但也对这些发生的机会。如果你速度同样(不包括),你回来在正确率领域。
因此我使用你的公式,但使用加权潜在利润和加权潜在损失。
迈克,你的公式会如何看?
Bochman先生,你是最少的为数不多的作者之一在这个问题上,实际上承认部分损失的发生,而不是“如果你失去了一点,你失去一切”,大多数作家或评论员的数学表达。可能我所遇到的最奇怪的事情在我虽然有限接触别人想想凯利标准。在他的论文《凯利标准在21点,体育博彩,和股票市场”,作者埃德·索普派生的偏见甚至钱投模型认为分数f * = p q,或失去获胜的概率-,但不均匀的情况钱f * = p / q / b。“a”、“b”是被失去或获得,分别通过最小化“a”,唯一的玩家有任何直接控制的变量,可以发送f *月亮。看到这么多的作家和评论家只是盲目的“a”设置为值带回家给我一个报价索普从他早期的股票市场,他既惊讶又鼓励是如何被小很多。也是一个很好的反驳反对有效市场假说如果曾经有过一个的。谢谢,恭喜你!
谢谢非常丰富,但这似乎并不知道凯利的建筑师,Ziemba,索普使用凯利标准的股票
凯利=
u(几何布朗运动漂移)- r(无风险利率)/σ^ 2
您使用漂移,而不是意味着日志返回,
他们有多种变化的公式,一个用于多个单一的股票投资组合,和Ziemba利用随机动态规划方法来动态平衡通过intemperol投资时期,上述方程讨论你所使用的只是赛马和21点,而不是股票市场,它不适用于期权交易股票。
Bochman先生,
感谢您对凯利标准的看法。我“惊讶和鼓励”,就像埃德·索普说,多少是被很多——在这种情况下,凯利标准本身就是明证公式等
f * = p - q / b而不是f * = p / a - q / b等,与“a”的一部分玩家的账户他们忍受失去。有这样的草率的数学,为什么任何一个信任“投资顾问”,他们辛苦赚来的钱吗?这只是惊人的学术阶梯这个走多远。通过最小化“a”,你可以放大“f *”在一个科学准确的方法,并从中获益最大化据它说,你可以和使用任何其他保险。很高兴认识一个MBA学位能做数学!
可能是有用的理解之间的差异,说,有偏见的硬币(离散计算)和股票价格(一个连续的情况)。股票价格是一个独立的变量,与方差。一个硬币是有偏见的返回头53%的时间,只需要p q = f *。
不过,有趣的是,选择更类似于偏见硬币——三角洲是一个有用的近似的期权到期的可能性实际上一文不值。注意尽管δ的布莱克-斯科尔斯计算允许我们跳过几个统计步骤以便所有我们需要做的是评估选择链信息。举个例子,一个选项显示达美航空的票价显示的有偏见的硬币p = 53。我们的财富的基本配置是6%。
我认为一个主要心理障碍是推断基于“小数定律。如果你研究索普,Ziemba和大量的学术文章,数以千计的模拟。有一个相似的模拟,完整的凯利的结果非常不稳定。
在看着一个模拟,我们看到最后的结果。结果似乎“明显”。然而,绝大多数的人,无法想象最终的结果,可能会认输后几个严重的衰退。
你能解释你如何计算A和B如果你分析数据的周期一年?
良好的工作重新推导凯利标准的一般形式。我很高兴看到一个更容易的例子推导可用web上的感谢。
我喜欢你叫“正确的公式。“我也努力寻找这个版本当我第一次开始研究KC,最终推导它自己,但后来我也发现一个PDF的凯利的原始来源,匹配这个“正确”的版本。
我在这里因为我看修改它期望效用最大化,而不是最大化增长速度(和想知道它会有什么不同,因为我使用ln我个人的效用函数模型,哈哈)。总之,保持良好的工作。
嗨,撒克逊,我感兴趣的PDF凯利的原始来源。
我不确定如果你看过这个线程在Twitter上对期望效用理论https://twitter.com/breakingthemark/status/1339570230662717441
嗨,汤姆,试试这个链接:https://www.princeton.edu/ /文献/ kelly_56.pdf ~ wbialek /罗马
谢谢,我可能会给伯努利的论文阅读。
阿龙,有趣,但这并没有回答一个问题我有投资凯利的基本应用
据我所知,凯利标准,这里介绍(损失假设和简化的100%)是打赌得到最大增长%(长)系列的(?)相同的赌注,获胜的机会/失去是已知的和固定轮,轮是独立的。所以如果我有抛硬币,或轮盘赌——每一轮和其他所有人一样,凯利。
但在投资——看来以上持有。
——赢得机会与未知的估计(也许不可知的)
精度
——收益/损失金额(或%)也估计
——一般而言,每一轮不同属性——如果我投资2次
同样的位置,可能获胜的机会,赢/输
改变了第二次,甚至如果我投资于两个不同位置
同时,同样的事情发生了
——有明显的系统性作用使每个“打赌”不是独立的。在
上/下天/期,大多数职位将相关
所以——甚至是凯利公式有关呢?
我有什么错的吗?
惯例,似乎是要告诉你,看看你的平均值和假设他们是你所需要的固定值。
即假设如果你赢得了过去x %你的交易,你这次胜选的机会(事实上,满足凯利的假设-每次)
X %,如果你平均收益/损失是G L %和%,假定这些对凯利的公式。
我个人认为这种做法,认为历史平均水平将在未来会发生什么深深怀疑。
根据正确的标准,这是
(k = w / a) - 1 w / b
因此,对于你的例子,
k = 0.6/0.2 - 0.4/0.2 = 1 = 100%
这告诉总投资策略(100%)为最优(预期)返回。0.2不是正确的最佳比例。你的仿真验证了这一点。
凯利的问题是它给你EV(期望值)而不是平均的结果。所以,如果你要使用分级.5X凯利凯利位置更接近最优,因为它给你一个非常高的比例的预期结果,更可怕的结果差异。凯利真正表明,您需要创建一个组合的不相关的押注0或负相关性。凯利表明一切都押注股票或股票和债券是一种错误的方法优化结果。投资夏普比率是非常有用的,因为它给出了一个更直接的可翻译使用凯利非常相似的东西。例如,如果模型蒙特卡罗模拟5夏普50%的目标是最优的卷,1夏普100%的目标是最优的卷,卷2夏普200%的目标。当然,类似于凯莉需要减半,为了消除负面的结果。